2. Ta có: P = 2x² + y² - 4x - 4y + 10

P = 2(x² - 2x + 1) + (y² - 4y + 4) + 4

P = 2(x - 1)² + (y - 2)² + 4 \(\ge\)4 \(\forall\)x;y

=> P luôn dương với mọi biến x;y

3 Ta có:

(2n + 1)(n² - 3n - 1) - 2n³ + 1

= 2n³ - 6n² - 2n + n² - 3n - 1 - 2n³ + 1

= -5n² - 5n = -5n(n + 1) \(⋮\)5 \(\forall\)n \(\in\)Z

1×2=2

\(y=x+\dfrac{1}{x}-5\ge2\sqrt{\dfrac{x}{x}}-5=-3\)

\(y_{min}=-3\) khi \(x=1\)

\(y=4x^2+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{2x}-4\ge3\sqrt[3]{\dfrac{4x^2}{2x.2x}}-4=-1\)

\(y_{min}=-1\) khi \(x=\dfrac{1}{2}\)

\(y=x+\dfrac{4}{x}\Rightarrow y'=1-\dfrac{4}{x^2}=0\Rightarrow x=-2\)

\(y\left(-2\right)=-4\Rightarrow\max\limits_{x>0}y=-4\) khi \(x=-2\)

a) \(x^2-9=2\left(x+3\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-9=2x^2+12x+18\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x^2-12x=18+9\)

\(\Leftrightarrow-x^2-12x=27\)

\(\Leftrightarrow x^2+12x+27=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+6\right)^2=9=3^2=\left(-3\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+6=3\\x+6=-3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-3\\x=-9\end{cases}}\)

Bài 3 

Với abc=1

Ta CM \(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ac+c+1}=1\)

\(VT=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{abc+ab+a}+\frac{ab}{a^2bc+abc+ac}\)

       \(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{ab+a+1}+\frac{ab}{ab+a+1}=1\)(ĐPCM)

Ta có \(\left(1+a\right)^2+b^2+5=\left(a^2+b^2\right)+2a+6\ge2ab+2a+6\)

=> \(\frac{\left(1+a\right)^2+b^2+5}{ab+a+4}=\frac{2ab+2a+6}{ab+a+4}=2-\frac{2}{ab+a+4}\)

Mà \(\frac{1}{ab+a+4}=\frac{1}{ab+a+1+3}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{3}\right)\)(do \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\))

=> \(\frac{\left(1+a\right)^2+b^2+5}{ab+a+4}\ge2-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{3}\right)=\frac{11}{6}-\frac{1}{2}.\frac{1}{ab+a+1}\)

Khi đó

\(P\ge\frac{11}{2}-\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ac+c+1}\right)=\frac{11}{2}-\frac{1}{2}.1=5\)

\(MinP=5\)khi \(a=b=c=1\)

\(1,\\ b,\Leftrightarrow\left(x^2+4x+4\right)+\left(y-1\right)^2=25\\ \Leftrightarrow\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2=25\)

Vậy pt vô nghiệm do 25 ko phải tổng 2 số chính phương

\(2,\\ a,\Leftrightarrow x^2-\left(y^2-6y+9\right)=47\\ \Leftrightarrow x^2-\left(y-3\right)^2=47\)

Mà 47 ko phải hiệu 2 số chính phương nên pt vô nghiệm

\(b,\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+\left(3y-1\right)^2=16\)

Mà 16 ko phải tổng 2 số chính phương nên pt vô nghiệm

1a. Đề lỗi

1b. 

PT $\Leftrightarrow (x+2)^2+(y-1)^2=25$

$\Leftrightarrow (x+2)^2=25-(y-1)^2\leq 25$

$(x+2)^2$ là scp không vượt quá $25$ nên có thể nhận các giá trị $0,1,4,9,16,25$

Nếu $(x+2)^2=0\Rightarrow (y-1)^2=25$

$\Rightarrow (x,y)=(-2, 6), (-2, -4)$
Nếu $(x+2)^2=1\Rightarrow (y-1)^2=24$ không là scp (loại)

Nếu $(x+2)^2=4\Rightarrow (y-1)^2=21$ không là scp (loại)

Nếu $(x+2)^2=9\Rightarrow (y-1)^2=16$

$\Rightarrow (x,y)=(1, 5), (1, -3), (-5,5), (-5, -3)$

Nếu $(x+2)^2=25\Rightarrow (y-1)^2=0$

$\Rightarrow (x,y)=(3, 1), (-7, 1)$

1c. 

Vì $x^2$ là scp nên $x^2\equiv 0,1\pmod 3$

$3(y-1)^2\equiv 0\pmod 3$

$\Rightarrow x^2+3(y-1)^2\equiv 0,1\pmod 3$

Mà $2021\equiv 2\pmod 3$
Do đó pt $x^2+3(y-1)^2=2021$ vô nghiệm

1d.

Ta thấy:

$(3x-1)^{2020}$ là scp không chia hết cho $3$ nên $(3x-1)^{2020}\equiv 1\pmod 3$

$18(y-2)^{2019}\equiv 0\pmod 3$

$\Rightarrow (3x-1)^{2020}+18(y-2)^{2019}\equiv 1\pmod 3$
Mà $2019^{2020}\equiv 0\pmod 3$
Do đó pt vô nghiệm.

\(x^2-x+1=x^2-2.x.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\forall x\)

\(-x^2+4x-5=-\left(x^2-2.x.2+2^2\right)-1=-\left(x-2\right)^2-1< 0\forall x\)

\(a\left(2a-3\right)-2a\left(a+1\right)=a\left(2a-3-2a-2\right)=-5a⋮5\forall a\inℤ\)

Bài 2: 

a: \(\Leftrightarrow x^2+3x-x^2-11=0\)

=>3x-11=0

=>x=11/3

b: \(\Leftrightarrow x^3+8-x^3-2x=0\)

=>8-2x=0

=>x=4

Bài 3:

a: Sửa đề: \(\left(x+y\right)^2-\left(x-y\right)^2\)

\(=\left(x+y+x-y\right)\left(x+y-x+y\right)\)

\(=2x\cdot2y=4xy\)

b: \(=\left(7n-2-2n+7\right)\left(7n-2+2n-7\right)\)

\(=\left(9n-9\right)\left(5n+5\right)=9\left(n-1\right)\left(5n+5\right)⋮9\)

Ta có (a + b + c)² \(\ge0\forall a;b;c\inℝ\)

=> a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca \(\ge\)0

=> a² + b² + c² \(\ge\)0 - (2ab + 2bc + 2ca)

=> a² + b² + c² \(\le\)2ab + 2bc + 2ca

=> a² + b² + c² \(\le\)2(ab + bc + ca) 

Dấu "=" xảy ra <=> a + b + c = 0

Xí bài 2 ý a) trước :>

4x² + 2y² + 2z² - 4xy - 4xz + 2yz - 6y - 10z + 34 = 0

<=> ( 4x² - 4xy + y² - 4xz + 2yz + z² ) + ( y² - 6y + 9 ) + ( z² - 10z + 25 ) = 0

<=> [ ( 4x² - 4xy + y² ) - 2( 2x - y )z + z² ] + ( y - 3 )² + ( z - 5 )² = 0

<=> [ ( 2x - y )² - 2( 2x - y )z + z² ] + ( y - 3 )² + ( z - 5 )² = 0

<=> ( 2x - y - z )² + ( y - 3 )² + ( z - 5 )² = 0

Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(2x-y-z\right)^2\\\left(y-3\right)^2\\\left(z-5\right)^2\end{cases}}\ge0\forall x,y,z\Rightarrow\left(2x-y-z\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left(z-5\right)^2\ge0\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}2x-y-z=0\\y-3=0\\z-5=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=3\\z=5\end{cases}}\)

Thế vào T ta được : 

\(T=\left(4-4\right)^{2014}+\left(3-4\right)^{2014}+\left(5-4\right)^{2014}\)

\(T=0+1+1=2\)

\(a=10;b=0;c=0\Rightarrow VT=100;VP=0\text{ nên BĐT sai và BĐT chỉ luôn đúng khi}\)

a,b,c là 3 cạnh của tam giác

\(A=25.5^n+26.5^n+8^{2n}.8=25.5^n+26.5^n+64^n.8\)

\(\equiv25.5^n+26.5^n+64^n.8\equiv25.5^n+26.5^n+5^n.8\equiv59.5^n\equiv0\left(\text{mod 59}\right)\text{ có đpcm}\)